Fundamentos de la Geometría - Teoría de conjuntos - Topología
- Fundamentos de la Geometría:
Klein produjo un relato que unificaba una gran clase de geometrías -en términos generales, todas aquellas que eran homogéneas en el sentido de que cada pieza del espacio se parecía a cualquier otra pieza del espacio. Esto excluía, por ejemplo, a las geometrías sobre superficies de curvatura variable, pero producía un paquete atractivo para el resto y satisfacía la intuición de los que sentían que la geometría proyectiva de alguna manera era básica. Siguió pareciendo el enfoque correcto cuando aparecieron las ideas del matemático noruego Marius Sophus Lie, y parecía haber una buena conexión entre la clasificación de Lie y los tipos de geometría organizados por Klein.
Los matemáticos ahora podían preguntarse por qué habían creído que la geometría euclidiana era la única cuando, de hecho, existían muchas geometrías diferentes. El primero en aceptar esta pregunta con éxito fue el matemático alemán Moritz Pasch, quien argumentó en 1882 que el error había sido confiar demasiado en la intuición física. En su opinión, un argumento en matemática debe depender de su validez no en la interpretación física de los términos involucrados, sino en criterios puramente formales. De hecho, el principio de la dualidad violó el sentido de la geometría como una formalización de lo que se creía acerca de los puntos y líneas (físicos). No se creía que estos términos fueran intercambiables.
Las ideas de Pasch llamaron la atención del matemático alemán David Hilbert, que con el matemático francés Henri Poincaré llegó a dominar la matemática a principios del siglo XX. Al preguntarse por qué la matemática -y en particular la geometría- produce resultados correctos, llegó a sentir cada vez más que no era debido a la lucidez de sus definiciones. Más bien, la matemática funcionaba porque sus términos (elementales) carecían de sentido. Lo que la mantenía en la dirección correcta era sus reglas de inferencia. Las pruebas eran válidas porque se construían mediante la aplicación de reglas de inferencia, según las cuales las nuevas afirmaciones podían ser declaradas verdaderas simplemente porque podían derivarse, por medio de estas reglas, de axiomas o de teoremas previamente probados. Los teoremas y axiomas fueron vistos como declaraciones formales que expresaban las relaciones entre estos términos.
Las reglas que rigen el uso de los términos matemáticos eran arbitrarias, argumentó Hilbert, y cada matemático podía elegirlas a voluntad, siempre que las decisiones tomadas fueran consistentes con sí mismas. Un matemático produjo sistemas abstractos sin restricciones por las necesidades de la ciencia y, si los científicos encontraron un sistema abstracto que encajaba en una de sus preocupaciones, podían aplicar el sistema con seguridad con el conocimiento de que era lógicamente consistente.
Hilbert primero se entusiasmó con este punto de vista (presentado en su Grundlagen der Geometrie [1899, Fundamentos de la geometría]) cuando vio que no sólo conducía a una manera clara de clasificar las geometrías en la jerarquía de Klein según los diferentes sistemas de axiomas, sino que también se cumplía para nuevas geometrías. Por primera vez, había una manera de discutir la geometría que estaba más allá incluso de los términos muy generales propuestos por Riemann. No todas estas geometrías han continuado siendo de interés, pero la moral general que Hilbert primero dibujó para la geometría fue pronto dibujada para el conjunto de la matemática.
-Teoría de Conjuntos:
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel.
-Topología:
La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.
Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—.
Coloquialmente, se presenta a la topología como la «geometría de la página de goma (chicle)». Esto hace referencia a que, en la geometría euclídea, dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc.), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, área, longitud, volumen y otras.
En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla (o pegarla) por algún punto.
Esta es la razón de que se la llame la «geometría de la página de goma», porque es como si estuviéramos estudiando geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.
Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar a pensar que la topología trata solo de objetos y conceptos geométricos, siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos. Por otro lado, en muchos casos es imposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemas topológicos o incluso de algunos conceptos. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que «no entienden la topología» y que no les gusta esa rama; generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica. Por último, la topología se nutre también en buena medida de conceptos cuya inspiración se encuentra en el análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de esta rama son conceptos e ideas topológicas.
Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
Comentarios
Publicar un comentario