Análisis Vectorial

Introducción al Análisis Vectorial
Definición de Vector
Elementos de un VectorRepresentación Analítica de un VectorClasificación de los Vectores
Vectores Colineales
Vectores Iguales
Vector UnitarioVectores ParalelosVectores CoplanaresVectores opuestosVectores concurrentesOperaciones con Vectores
Adición de Vectores
Método del Triángulo

• Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores

• Para hallar el valor de la resultante se aplica la Ley de Lamy o de senos:

Método del Paralelogramo

• La suma o resultante es la diagonal del paralelogramo formado.

• La suma o resultante se denota:

Método del Polígono

• Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Ejemplo:

• Método del Polígono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del último llega al origen del primero.

Diferencia de Vectores
Casos Particulares y Posiciones Relativas de los Vectores
Descomposición Rectangular de un VectorComponentes rectangulares de un vector en el plano

• Módulo del Vector A

• Dirección del Vector A Respecto al eje “X”

Vectores en el Espacio
Puntos en el espacio
Expresión vectorial de un vector en el EspacioMódulo de un vector en el EspacioDirección de un vector en el Espacio
Cosenos directoresOperaciones con Vectores en el Espacio
Suma y Diferencia de Vectores en el EspacioMultiplicación por EscalarPropiedades de la Multiplicación por escalar:
Producto Interno o Producto Punto
Propiedades del Producto Interno:
Del vector suma, de acuerdo a las propiedades:
Observe: ¡Esta es la ley del coseno!
Producto Vectorial o Producto CruzPropiedades del Producto Vectorial
Producto de Vectores CanónicosRegla de la mano derechaInterpretación Geométrica del Vector AxBDoble Producto Vectorial
Producto TripleInterpretación Geométrica de Producto Triple
Ejemplos de Operaciones de Vectores
La Trigonometría y los Vectores
Trigonometría
Vectores

El estudio de los vectores que desarrollaremos nos ayudará a explicar, comprender y evaluar algunos fenómenos físicos que requieren para su descripción, del uso de magnitudes vectoriales como la velocidad de un avión, el desplazamiento de un automóvil, la fuerza aplicada a un ladrillo, la cantidad de movimiento de una bola de billar, etc.

Galileo Galilei (1564 – 1642) fue uno de los primeros científicos que al estudiar el movimiento de los proyectiles, tuvo la necesidad de usar vectores con el fin de determinar para un instante, la velocidad del proyectil, la composición de sus velocidades en la dirección horizontal y en la dirección vertical.

La importancia que tienen los vectores para la Física es que a través de ellos se representan las magnitudes vectoriales; lo cual permite una mejor descripción de los fenómenos físicos.

Las cantidades físicas por su forma geométrica o naturaleza pueden ser clasificadas como “escalares” o “vectoriales”.

Es un ente matemático que nos sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad.

Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se han ideado a los VECTORES.

Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc.

Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la notación:

Si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, como lo vimos anteriormente.

Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).

Sentido: Representado por la flecha del vector.

Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.

Dados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por:

Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.

Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.

Son aquellos vectores que se encuentran contenidos en un mismo plano. 

Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario.

Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto.

Se observa que las líneas de acción de los tres concurren en el punto “O”, por lo que son concurrentes

Al vector “suma” también se le llama resultante, la resultante produce el mismo efecto que los sumandos.

Este método es sólo para dos vectores coplanares y concurrentes

Pasos a seguir:

Pasos a seguir:

Analíticamente:

La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia.

En los documentos que te dejaremos, encontraras 6 casos particulares y posiciones relativas de los vectores, te recomendamos verificar estos casos:

Aquí te mostramos como se da la descomposición rectangular de un vector:

Las componentes rectangulares están dadas por:

Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales.

X: eje de abscisas, Y: eje de ordenadas, Z: eje de cotas

Un vector A, se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:

Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

El módulo de un vector “A”, está dado por:

La dirección de un vector en el espacio, está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores.

Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por:

Dados dos vectores:

Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:

Dado el vector “A” y un escalar “r” se define como producto por escalar a la operación:

Donde el vector rA, es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A.

Dado los vectores “A” y “B” y los escalares “r” y “s”, se cumple:

Dados dos vectores:

Se define como producto interno de vectores a la expresión dada por:

Observe que:

Otra definición:

Es posible también definir el producto interno mediante la relación:

Dado los vectores “A”, “B” y “C” y los escalares “r” y “s”, se cumple:

Importante:

Dados dos vectores “A” y “B” se define como producto vectorial AxB, a la expresión definida por el determinante:

Dado los vectores “A”, “B” y “C” y los escalares “r” y “s”, se cumple:

Puesto que un vector siempre es paralelo a sí mismo:

Sirve para determinar la dirección del vector AxB

¡Observe!

El vector AxB, está representado por un vector perpendicular, tanto al vector “A” como al vector “B”. Su módulo es igual al área del paralelogramo formado.

Dado los vectores “A”, “B” y “C”, se define como producto triple “A.(BxC)” a la expresión definida por un determinante de la forma:

El producto triple “A.(BxC)” de los vectores “A”, “B” y “C” es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores.

Ahora te compartiremos 5 ejemplos ilustrativos de Operaciones con vectores, donde aplicamos todos los conceptos que ya mencionamos anteriormente:

La trigonometría la inventó Hiparco hacia el año 150 antes de J.C. Pero el primer tratado sistemático se debe a Regiomontanus en 1464. Su obra Triangulis emplea solamente las funciones seno y coseno.

La trigonometría, como su nombre indica, ha tenido por objeto fundamental, el calculo de todos los elementos de un triangulo (alturas, bisectrices, área…) con ayuda de datos suficientes para determinarlos, algunos de ellos angulares. Así, la introducción de los ángulos en los cálculos relativos al triángulo, completa la geometría que establece solamente relaciones métricas.

Hoy, la trigonometría se utiliza fuera de toda consideración de triangulo y es absolutamente necesaria para entender la física más elemental. La mayoría de sus relaciones pueden ser deducidas del cálculo vectorial. Como vimos en este capítulo.

Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacia el fin de siglo XVII.

Es con relación a la representación geométrica de los números llamados imaginarios como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente analizadas, sin que el concepto de vector esté aún claramente definido. Fue mucho más tarde y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretaron.

El alemán Grossman, en 1844, por métodos geométricos, introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial (suma, producto escalar y vectorial).

El ingles Hamilton, por cálculos algebraicos llego a las mismas conclusiones que Grossman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.

Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizo a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton, Stokes, Maxwell, Heaviside y del americano Gibas (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del X para el producto vectorial) ademas se amplió el cálculo vectorial, colocando nociones más complejas, como los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional.

Tomado de:https://ejerciciosdefisica.com/analisis-vectorial/