Matemática Europea
La Matemática del Siglo XVIII y XIX en Europa: período donde surgen las ecuaciones diferenciales, los estudios de las curvas, los números complejos, la teoría de las ecuaciones, el cálculo de variaciones, la trigonometría esférica, el cálculo de probabilidades y la mecánica. La resolución de los problemas planteados al principio del siglo por Leibniz y Newton, las cuadraturas y la integración de las ecuaciones diferenciales hacen grandes progresos.
De 1730 a 1830
Este tiempo es el declive de las matemáticas británicas, las élites matemáticas son desviadas hacia áreas más prácticas como la navegación, la colonización, industrialización, etc. A la par, existe un lento ascenso en el poder de los matemáticos alemanes y este-europeos, estimulados por los déspotas ilustrados como son Pedro el Grande, Catalina II o Federico II. Los genios como Leibniz se ven sucedidos por científicos puros, del estilo de Lambert, Ptaff, pero sobre todo por dos grandes genios universales: Euler (1707-1783) en San Petersburgo, y Gauss (1777-1855) en Göttingen; además de un genio precoz, como el noruego Abel (1802-1829) con sus series de enteros, Funciones elípticas e Integrales abelianas.
De 1830 a 1933
Es el período de transición entre la edad clásica y las matemáticas actuales. Está marcada por un gran esfuerzo de reorganización y de abstracción, que revoluciona la estructura de las matemáticas pero logrando guardar su unidad. Con respecto a la Aritmetización del análisis : al principio del Siglo XIX, la geometría continúa siendo la parte más desarrollada de las matemáticas, continúa activa, pero se encuentra seguida de cerca por el análisis, el cual, acumula resultados basándose sobre una concepción intuitiva de la noción de límites. Gauss, Bolzano y Cauchy desean darla el mismo rigor que a la geometría. Esta tarea consigue una definición clara de la noción de límite hacia 1850 con los (e) de Weierstrass, fundada sobre una construcción clara de los números reales a partir de los racionales. Las funciones de variables complejas y las ecuaciones diferenciales pueden entonces ser estudiadas rigurosamente. Las estructuras fundamentales del análisis (espacios métricos, topológicos) son conseguidas al acabar el siglo (Cantor, Fréchet, Hausdorff). Los problemas algebraicos: ecuaciones algebraicas, sistemas lineares, grupos de transformaciones, teoría de números, son clasificados por familias, esfuerzos que conducen a la emergencia progresiva de estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y álgebras. El descubrimiento de geometrías no euclidianas (Lobatchevski, Gauss, Bolya, Riemann), y el nuevo rigor adquirido por el análisis, conducen a Hilbert a revisar la axiomática de Euclides en el final del siglo. La estructuración de la geometría se forma a través del álgebra y el análisis; la geometría se divide en dos ramas principales: geometría algebraica y diferencial. Durante este tiempo, la lógica de Aristóteles es revisada debido a las paradojas nacidas de las teorías de conjuntos creada por Cantor; una nueva síntesis se afronta para el final del siglo.
En Inglaterra
Una reforma de la enseñanza y la traducción a inglés de la Mécanique céleste de Laplace relanzan la ciencia británica. Lógica: destacan Boole, De Morgan, Lewis Carroll, o Principia de Whitehead y Russell; Álgebra: son Hamilton (cuaterniones), Silvestre, Cayley (cálculo matricial), Smith, Clifford, Burnside; Teoría de Números y análisis: Whittaker, Ardí, Littlewood, Ramanujan, Mordell; Física matemática : Stokes, Rayleigh, Maxwell; Geometría : Salmon, Macaulay, Baker... y el erudito Arcy Thompson, a medio camino de Aristóteles y René Tom.
Alemania
Göttingen, se convierte en la capital mundial de las matemáticas. Después de la derrota de Lena en 1806, Prusia comienza una reforma universitaria liberal (1810-18), que proporciona una gran libertad a los profesores y estudiantes. La ausencia de una utopía práctica (política, económica, colonial) hacen surgir los más brillantes estudiantes hacia el pensamiento abstracto: filosófico (como Hegel, Feuerbach, Marx, Nietzsche) y matemático. Es la invención de las matemáticas puras, Jacobi escribe en 1830: "El único objetivo de la ciencia, es el honor del espíritu humano". Berlín, y sobretodo Göttingen, son los centros activos. Se tiene en Lógica y teoría de conjuntos a Dedekind, Cantor (1845-1918) (cardinales y ordinales), Frege, Hilbert, Zermelo, Gentzen; en Teoría algebraica y análisis de números a Gauss (1777-1855), Dirichlet, Kummer, Kronecker, Riemann (1826-1866), Hurwitz, Hilbert (1862-1943), Landau, Siegel, Hasse. La Teoría de grupos es desarrollada más por Gauss, Klein, Von Dyck, Dehn, Reidemeister, Artin, Schreier; En el campo de las Funciones elípticas están a Gauss, Jacobi, Weierstrass, Klein, Hecke; en el Análisis real y complejo a Gauss, Dirichlet, Weierstrass, Riemann, Hilbert; sobre la geometría pura y la moderna: Steiner, Klein; las Geometrías no euclídeas son tratadas por Gauss, Riemann, Hilbert, Minkowski; mientras que las Geometrías algebraicas y diferenciales son para Gauss, Riemann, Clebsch, Gordan, Hilbert, les Noether; las Ecuaciones integrales, diferenciales y en derivadas parciales son llevadas a cabo por Runge, Hilbert, Courant; y la Astronomia por Gauss, Moebius, Bessel. Los jóvenes extranjeros vienen a acabar en Alemania sus estudios post-doctorales. Alemania comienza con las matemáticas aplicadas al fin del siglo, una vez realizada su unidad política (Runge), y en relación con su industrialización. En el 2º congreso internacional de matemáticas en Paris en 1900, Hilbert enuncia 23 problemas cuya resolución va a marcar el siglo que comienza.
Italia
Los matemáticos hacen paradas académicas participando en los combates para la unidad italiana antes de volver a sus estudios. En 1858, Betti, Brisochi et Casorati viajan a París, Berlín y Göttingen, y sacan a las matemáticas italianas de su aislamiento. Destacan en lógica: Peano, Burali-Forti; en geometría diferencial: Bianchi, Ricci-Curbastro; en geometría algebraica : Castelnuovo, Enriques, Severi; en análisis: Ascoli, Dini, Cesàro, Volterra, Vitali; y en cálculo tensorial: Levi-Civita; Los principales centros italianos son la Escuela normal superior de Pisa, las universidades de Bolonia, Pádova, Milán, Roma y Nápoles.
Rusia
Una escuela matemática activa aparece bajo el dominio de los zares: Lobatchevski en geometría no euclidea; y Ostrogradski, Tchebychev, Sonia Kovalesvskaïa, Liapounov, Markov, Steklov, Egorov, Lusin en teoría de números, análisis funcional y matemáticas aplicadas. Realizan una síntesis original entre la teoría y las aplicaciones, lo cual queda ilustrado por la frase "Aislar las matemáticas de las preguntas prácticas de otras ciencias es como el provocar la esterilidad de una vaca alejándola del toro" de Tchebychev. En Escandinavia, el noruego Sylow estudia los grupos finitos. Su alumno Lie generaliza las transformaciones de contacto y estudia los grupos continuos. En Suecia, Mittag-Leffler hace trabajos de análisis complejo, y Fredholm estudia las ecuaciones integrales. El danés Harald Bohr, hermano del famoso Niels, estudia las funciones casi-periódicas... ¡después de haber sido internacional de fútbol!
España y Portugal
No hay matemáticas importantes, en parte debido a la salida de los Árabes y el éxodo de los judíos, de la todopoderosa Iglesia y la Inquisición, y la ausencia de déspotas ilustrados.
Tomado de: Historia de las Matemáticas de Jean-Baptiste Montucla en SXVIII
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